关系
一、关系数据结构
1. 关系的基本概念
（1）域（Domain）
- 定义：一组具有相同数据类型的值的集合。
- 示例：
- 整数集合
- 性别集合：{‘男’, ‘女’}
- 长度小于25的字符串集合
（2）笛卡尔积（Cartesian Product）
定义：给定一组域 \(D_1, D_2, \ldots, D_n\)，其笛卡尔积为： \(D_1 \times D_2 \times \ldots \times D_n = \{(d_1, d_2, \ldots, d_n) \mid d_i \in D_i\}\)
元组：笛卡尔积中的每个元素称为一个n元组。
分量：元组中的每个值 \(d_i\) 称为一个分量。
（3）关系（Relation）
- 定义：笛卡尔积的有意义的子集。
- 属性：每列有一个名称，称为属性。
- 目/度：关系中属性的个数。
- 元组：关系中的每一行。
示例：三目关系：导师-研究生关系SMP(SUPERVISOR, MAJOR, POSTGRADUATE)
2. 关系的性质
- 列同质：每一列的分量来自同一域。
- 属性名唯一：不同属性可来自同一域，但名称必须不同。
- 列顺序无关：列可任意交换。
- 元组唯一：任意两个元组不能完全相同。
- 行顺序无关：行可任意交换。
- 分量原子性：每个分量必须是不可分的数据项。
3. 关系模式（Relation Schema）
关系是关系模式在某一时刻的状态或内容，关系模式是型，关系是值
定义：对关系的描述，形式化为： \(R(U, D, DOM, F)\)
- \(R\)：关系名
- \(U\)：属性集合
- \(D\)：属性所来自的域
- \(DOM\)：属性到域的映射
- \(F\)：属性间的依赖关系
简记：\(R(A_1, A_2, \ldots, A_n)\)
4. 关系数据库
- 型：关系模式的集合（数据库结构）
- 值：某一时刻各关系对应的元组集合（数据库实例）
候选码（Candidate key）
关系模式中的某一个属性或一组属性的值能唯一地标识一个元组，而它的真子集不能，则称该属性或属性组为候选码
简单的情况：候选码只包含一个属性
最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）
主码
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）
主属性
候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute）
不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）
二、关系的完整性约束
1. 实体完整性（Entity Integrity）
- 规则：主属性不能取空值。
- 示例：选课关系SC(学号, 课程号, 成绩)中，学号和课程号都不能为空。
2. 参照完整性（Referential Integrity）
- 外码：关系R中的属性组F是另一关系S的主码，则F是R的外码。
- 规则：外码的值必须为空或等于被参照关系中某个主码值。
- 示例：
- 学生表中的“主修专业”必须是专业表中存在的专业名。
- 课程表中的“先修课”必须是本表中已存在的课程号。
一、什么是参照完整性？
参照完整性，简单来说，就是确保一张表中的数据引用在另一张表中是存在的。
它定义了表与表之间的一种“主从”或“父子”关系，要求子表中某个字段（或字段组）的值，必须在父表的主键字段中存在。
一个经典的比喻： 想象一下公司和员工的关系。
- 父表 (公司表)：
Companies(CompanyID, CompanyName)- 子表 (员工表)：
Employees(EmployeeID, Name, CompanyID)参照完整性要求：
Employees表中的每一个CompanyID值，都必须在Companies表的CompanyID列中存在。你不能让一个员工属于一个不存在的公司。二、核心概念与术语
要理解参照完整性，必须先掌握以下几个关键术语：
术语 中文 定义 在上例中指 Foreign Key 外码 子表中的一个属性（或属性组），它引用了另一张表（父表）的主键。 Employees.CompanyIDReferenced Relation 被参照关系/父表 被其他表引用的表，其主键被外键所引用。 Companies表Referencing Relation 参照关系/子表 包含外键的表，它引用了另一张表。 Employees表Primary Key 主键 父表中被外键所引用的唯一标识符。 Companies.CompanyID一句话总结：参照完整性约束，就是约束着子表中外码的取值，必须来自于父表的主键。
三、参照完整性规则
这个约束具体是如何起作用的呢？它对外键的取值有明确的规定：
对于子表中的每一个外键值，它必须满足以下两个条件之一：
- 取空值（例如
NULL）。- 取父表中某个元组主键的值。
规则详解：
1. 取空值 (NULL)
- 含义：表示“未知”或“暂未分配”。
- 示例：一个新员工刚入职，尚未被分配到具体的部门，那么他的
DepartmentID外键字段就可以为NULL。2. 取父表主键的有效值
- 含义：这是最常见的情况。外键的值必须是父表中确实存在的一个主键值。
- 示例：员工的
CompanyID必须是Companies表中已有的一条记录的CompanyID。⚠️ 违反规则的示例：
如果试图在
Employees表中插入一条记录，其CompanyID为999，但Companies表中根本不存在CompanyID=999的公司，那么这个操作就会违反参照完整性约束，数据库管理系统（DBMS）会拒绝执行此操作，并报错。
“学生”关系的“主修专业”属性与“专业”关系的主码“专业名”相对应
“主修专业”属性是学生关系的外码
“专业”关系是被参照关系，“学生”关系为参照关系
“学生选课”关系的“学号” 与“学生”关系的主码“学号”相对应
“ 学生选课”关系的“课程号”与“课程”关系的主码“课程号”相对应
“学号”和“课程号”是“学生选课”关系的外码
“学生”关系和“课程”关系均为被参照关系
“学生选课”关系为参照关系
“课程”关系中“先修课”属性与本身的主码“课程号”属性相对应
“先修课”是外码
“课程”关系既是参照关系也是被参照关系
3. 用户定义的完整性
- 定义：用户根据应用语义定义的约束。
- 示例：
- 成绩必须在0~100之间
- 姓名不能为空
三、关系代数
1. 传统的集合运算
- 并（Union）：\(R \cup S\)
- 差（Difference）：\(R - S\)
- 交（Intersection）：\(R \cap S\)
- 笛卡尔积（Cartesian Product）：\(R \times S\)
2. 专门的关系运算
（1）选择（Selection）
- 符号：\(\sigma_F(R)\)
- 功能：从R中选取满足条件F的元组。
- 示例：\(\sigma_{Smajor='信息安全'}(Student)\)
（2）投影（Projection）
- 符号：\(\pi_A(R)\)
- 功能：从R中选择属性子集A，并去重。
- 示例：\(\pi_{Sname, Sdept}(Student)\)
（3）连接（Join）
笛卡尔积通常会产生大量无意义的元组。连接的本质就是从笛卡尔积中筛选出有意义的元组
- θ连接：\(R \bowtie_{A \theta B} S\)
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定义：从R和S的笛卡尔积中选取满足给定条件A θ B的元组。
A是关系R中的一个属性（或属性组）
B是关系S中的一个属性（或属性组）
θ是比较运算符，如：=, >, <, >=, <=, <>
过程：先做R × S，再做σ_{A θ B}(R × S)
- 等值连接：θ为“=”
- 自然连接：等值连接 + 去重属性
自然连接是一种特殊的等值连接，它自动化了这个过程，更为简洁。
- 符号表示： R⋈ S (无需指定条件)
- 定义：在两个关系R和S中，自动寻找所有同名的属性，然后基于这些同名属性值相等进行等值连接，并在结果中去掉重复的同名属性。
- 步骤：
- 计算
R × S- 选择所有满足
R.A1 = S.A1 AND R.A2 = S.A2 AND ...的元组（A1, A2…是R和S的同名属性）- 去掉重复的属性列，只保留一份同名属性
举例说明：
Students \bowtie Scores假设Students和Scores都有一个名为Sno的属性，DBMS会自动发现这一点。这个操作等价于：π_{Students.Sno, Sname, Dept, Cno, Grade}(σ_{Students.Sno = Scores.Sno}(Students × Scores))(先做笛卡尔积 -> 然后选择学号相等的行 -> 最后在投影中去除重复的Sno列)
（4）外连接（Outer Join）
- 左外连接：保留左表所有元组
- 右外连接：保留右表所有元组
- 全外连接：保留两侧所有元组
自然连接和等值连接都有一个特点：只保留匹配成功的元组。悬浮元组（Dangling Tuple）是指在连接过程中因无法匹配而被丢弃的元组。
外连接的目的就是保留这些悬浮元组，并用
NULL值填充缺失的属性。1. 左外连接
- 符号：
R ⟕ S或LEFT OUTER JOIN- 功能：保留左边关系R中的所有元组。如果R的某个元组在S中找不到匹配的，则结果中该元组对应S的所有属性置为NULL。
2. 右外连接
- 符号：
R ⟖ S或RIGHT OUTER JOIN- 功能：保留右边关系S中的所有元组。如果S的某个元组在R中找不到匹配的，则结果中该元组对应R的所有属性置为NULL。
3. 全外连接
- 符号：
R ⟗ S或FULL OUTER JOIN- 功能：同时保留左边关系R和右边关系S中的所有悬浮元组。它是左外连接和右外连接的并集。
外连接总结图示： 假设关系R和S进行连接，下图清晰地展示了不同连接类型的结果范围：
R S +------------+ +------------+ | (匹配部分) | | (匹配部分) | +------------+ +------------+ ｜ ｜ ｜ ｜ +----------------------------+ | 自然连接/内连接 | +----------------------------+ ／ ＼ ／ ＼ +-----------------+ +-----------------+ | R的悬浮元组 | | S的悬浮元组 | | (左外连接保留) | | (右外连接保留) | +-----------------+ +-----------------+ ＼ ／ ＼ ／ +----------------------------+ | 全外连接(全部保留) | +----------------------------+
（5）除运算（Division）
符号：\(R \div S\)
功能：找出满足“包含所有S中元组”的R元组。
示例：查询选修了所有课程的学生： \(\pi_{Sno, Cno}(SC) \div \pi_{Cno}(Course)\)
一、为什么需要除运算？
除运算是为了回答这样一种查询：“查询选择了所有某某项目的学生” 或 “查询包含了所有某某零件的供应商”。
这类问题的特点是：“所有” 或 “包含”。它寻找的是满足某种“完整性”或“包含性”条件的元组。用选择、投影、连接虽然也能实现，但会非常繁琐，而除运算则提供了一种直接的、集合层面的解决方案。
二、直观理解：除运算的比喻
我们可以用一个非常贴切的比喻来理解除运算：
“除法是乘法的逆运算”
在关系代数中：
- 乘法 对应 笛卡尔积
R × S。- 除法 则可以理解为：给定一个结果（类似于乘积）和一个关系（类似于乘数），求另一个关系（类似于被乘数）。
更形象的比喻：食谱 假设：
- 关系
R(厨师, 食材)：记录了每个厨师会处理哪些食材。- 关系
S(食材)：是一份食谱所需的全部食材清单。那么，除运算
R ÷ S的结果就是：能找到所有食谱所需食材的厨师。即，这位厨师的技能集合完全包含了这份食谱的要求。三、形式化定义
给定两个关系：
R(X, Y)S(Y, Z)
- 其中
X, Y, Z是属性组。- 注意：
S中的属性组Y必须和R中的属性组Y出自相同的域（数据类型一致），但属性名可以不同。除运算的结果是一个新关系
P(X)，它包含的是R中满足以下条件的元组在X属性上的投影： 关系R中某个X分量值x对应的所有Y值的集合，必须包含关系S中所有Y值的集合。用公式表示为： \(R \div S = \{ t_r[X] \ | \ t_r \in R \land \pi_Y(S) \subseteq Y_x \}\) 其中：
$$ Y_x = { t[Y] \ \ t \in R \land t[X] = x } $$：称为 x在R中的象集。它表示在关系R中，所有X值为x的元组所对应的Y值的集合。- \(\pi_Y(S)\)：是关系
S在Y属性组上的投影，即S中所有Y值的集合（去重后）。核心思想：对于结果中的每一个
x，它的“伴侣”集合（象集 \(Y_x\)）必须能“配得上”或“覆盖”S提供的整个“套餐” (\(\pi_Y(S)\))。四、一步步计算：通过经典示例
我们通过一个经典例子来一步步拆解除运算的过程。这是理解除运算最关键的一步。
已知关系 R 和 S：
A B C (关系 R) B C (关系 S) a1 b1 c2 b1 c2 a1 b2 c3 b2 c1 a1 b2 c1 b2 c3 a2 b3 c7 a2 b2 c3 a3 b4 c6 a4 b6 c6 求：
R ÷ S第一步：分析属性
R的属性是(A, B, C)。我们可以将其视为(X, Y)，其中X = A,Y = (B, C)。S的属性是(B, C)，这与R中的Y属性组对应。第二步：计算
S在Y属性组上的投影π_Y(S)这其实就是
S的所有内容（因为S只有(B, C)属性）： \(\pi_{(B,C)}(S) = \{ (b1, c2), (b2, c1), (b2, c3) \}\) 这个集合就是我们需要去匹配的“标准套餐”。第三步：计算
R中每个X（即每个A值）的象集 \(Y_x\)我们需要找出
R中每个不同的A值，都搭配了哪些(B, C)。
- 对于
a1：在R中，A=a1的元组有(a1,b1,c2),(a1,b2,c3),(a1,b2,c1)。
- 所以
a1的象集 \(Y_{a1} = \{ (b1, c2), (b2, c3), (b2, c1) \}\)- 对于
a2：在R中，A=a2的元组有(a2,b3,c7),(a2,b2,c3)。
- 所以
a2的象集 \(Y_{a2} = \{ (b3, c7), (b2, c3) \}\)- 对于
a3：在R中，A=a3的元组有(a3,b4,c6)。
- 所以
a3的象集 \(Y_{a3} = \{ (b4, c6) \}\)- 对于
a4：在R中，A=a4的元组有(a4,b6,c6)。
- 所以
a4的象集 \(Y_{a4} = \{ (b6, c6) \}\)第四步：将每个象集与“标准套餐”
π_Y(S)进行比较看谁的象集包含了“标准套餐”。
- \(Y_{a1} = \{ (b1,c2), (b2,c3), (b2,c1) \}\) ⊇ \(\{ (b1,c2), (b2,c1), (b2,c3) \}\) ✅ 包含！
- \(Y_{a2} = \{ (b3,c7), (b2,c3) \}\) ⊉ \(\{ (b1,c2), (b2,c1), (b2,c3) \}\) ❌ 缺少 (b1,c2) 和 (b2,c1)
- \(Y_{a3} = \{ (b4,c6) \}\) ⊉ \(\{ (b1,c2), (b2,c1), (b2,c3) \}\) ❌ 一个都不匹配
- \(Y_{a4} = \{ (b6,c6) \}\) ⊉ \(\{ (b1,c2), (b2,c1), (b2,c3) \}\) ❌ 一个都不匹配
第五步：得到结果
只有
a1的象集完全包含了S的所有可能。因此，除运算的结果是： \(R \div S = \{ a1 \}\)
A a1 五、实际数据库中的应用示例
以经典的
学生-课程-选课数据库为例：
Student(Sno, Sname)(学生)Course(Cno, Cname)(课程)SC(Sno, Cno, Grade)(选课)查询：选修了全部课程的学生学号。
分析：“全部课程”意味着我们要找一个学生，他的选课记录必须包含课程表中的每一门课。
建模：
- 关系
R应包含 学生 和 课程 的信息。这正是SC表：SC(Sno, Cno)，我们可以将其视为R(X, Y)，其中X=Sno,Y=Cno。- 关系
S应提供 “全部课程” 的清单。这正是Course表的主码投影：π_{Cno}(Course)。我们可以将其视为S(Y)。运算： \(\pi_{Sno, Cno}(SC) \div \pi_{Cno}(Course)\) 这个运算的结果就是一个包含所有满足条件的学生学号的集合。
如果要查询姓名，只需将结果与Student表连接即可： \((\pi_{Sno, Cno}(SC) \div \pi_{Cno}(Course)) \bowtie \pi_{Sno, Sname}(Student)\)
六、总结
核心概念 解释 目的 解决“查询所有…”这类包含性查询。 输入 两个关系 R(X, Y)和S(Y, Z)。输出 一个关系 P(X)。核心机制 计算 R中每个X值对应的Y的象集，判断该象集是否包含S中所有Y值的集合。关键步骤 1. 求 ( \pi_Y(S) )
2. 求每个x的象集 ( Y_x )
3. 比较 ( Y_x \supseteq \pi_Y(S) ) ?SQL实现 没有直接的DIVIDE运算符，通常用 NOT EXISTS双重嵌套子查询实现。只要牢记 “象集包含” 这个核心概念，并通过例子熟练象集的求法和比较，你就能彻底掌握除运算。它是关系代数完备性的体现，虽然抽象，但逻辑非常严密和强大。
四、总结
| 概念 | 说明 |
|---|---|
| 关系 | 二维表，元组的集合 |
| 关系模式 | 关系的结构描述 |
| 完整性约束 | 实体、参照、用户定义 |
| 关系代数 | 查询语言基础：选择、投影、连接、除 |